Держаться в близких, личностно- доверительных отношениях.
Происхождение:
"Быть на короткой ноге" скопировано с французского etre sur un bon pied – буквально "быть на хорошей ноге". Иногда встречается поэтому и на дружеской ноге, это отсюда же.
Например у Гоголя:
Вы, может быть, думаете, что я только переписываю; нет, начальник отделения со мной на дружеской ноге. Этак ударит по плечу: "Приходи, братец, обедать!".